[수학자유탐구]쌍곡함수의 기하학적 역할 탐구, 쌍곡함수의 기하학

목차

1. 단위 쌍곡선에서 의미
2. 일반적인 쌍곡선에서 의미
3. hyperboloid of one sheet에서의 부피
4. hyperboloid of two sheets 에서의 부피
5. 단위원과 단위쌍곡선의 관계

본문내용

쌍곡선 함수는 총 6가지 삼각함수에 대응되는 함수로서, 이를테면 와 같이 정의되어 진다. 2차원 평면상에서 매개변수 t로 표현된 좌표 가 단위원 을 나타내는 것처럼, 매개변수 t로 표현된 좌표 는 단위 쌍곡선 을 나타내는 것으로 알려져 있다. 본 탐구에서는 쌍곡선에서 쌍곡선 함수가 나타내는 여러 기하학적 의미를 살펴보고자 한다.

1. 단위 쌍곡선에서 의 의미
[그림 1]에서 넓이는 단위 쌍곡선 위의 점 와 원점사이를 연결한 선분, 축과 쌍곡선이 이루는 면적이다. 는 으로 나타낼 수 있다. 양 변을 에 대해서 미분을 하게 되면,
이된다. 따라서 이되며, 이므로 가 된다. 따라서 단위 쌍곡선 위의 점 이 가지는 의미는 그 점과 원점을 이은 선분과 쌍곡선이 이루는 부분의 제1사분면 위 넓이가 이라는 의미이다. 직관적으로, 그 역도 성립한다.

2. 일반적인 쌍곡선 에서 의 의미
이제는 조금 더 일반적인 상황에서 증명을 해보자. 와 원점를 이은 선분이 쌍곡선과 이루는 제1사분면 위의 넓이를 라고 하자.
으로 나타내어진다. 양변을 에 대해서 미분하게 되면
이므로 으로 나타내어지는데, 일 때 이므로 이다. 즉, 와 원점 을 연결한 선분과 쌍곡선이 제1사분면 위에서 이루는 면적이 라는 의미를 가진다. 는 일대일대응 함수이므로 그 역도 당연히 성립한다.

참고 자료

없음