괴델의 불완전성 정리의 의미와 증명 및 등장배경

소개글

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목차

1. 불완전성 정리의 등장 배경
2. 불완전성 정리 의미
3. 메타수학
4. 괴델수
5. 제1 불완전성 정리 증명
6. 제2 불완전성 정리 증명

본문내용

내가 선정한 수학자는 쿠르드 괴델이다. 괴델은 미국의 유명 잡지인 Time에서 선정한 20세기 가장 영향력 있는 인물 100인에 들어가지도 한 인물이다. 괴델은 수학, 수리논리학, 수리철학의 분야에 대해 연구하였고 그 유명한 불완전성 정리와 함께 완전성 정리, 연속체 가설의 상대적 무모순성 등을 발표하였다. 내가 괴델을 선정한 이유는 간단하다. 수학을 공부하면서 괴델의 불완전성의 정리는 자주 듣게 된다. 하지만 정작 괴델의 불완전성 정리에 대해 자세히 알지 못했던 것이 사실이다. 이러한 이유로 나는 괴델의 불완전성 정리에 대해 알아보고자 한다.

1. 불완전성 정리의 등장 배경

괴델의 불완전성 정리에 본격적으로 들어가기 전에 불완전성 정리가 등장하던 당시의 수학의 인식과 많은 지지를 받던 이론에 대해 알아보자. 19세기 후반 그 시대에는 수학이란 엄밀성과 확실성이 강조된 풍조가 있었다. 즉, 수학이란 완전하다는 것이다. 그런 수학의 완전성을 제창한 인물이 여러 있었는데 그 중 대표적인 인물인 힐베르트가 있다. 19세기 말 최고의 수학자였던 다비드 힐베르트는 “내용과 의미가 명확한 수학문제는 아무리 어려운 문제라 하더라도 시간이 지나면 언젠가는 반드시 풀리게 된다.”라고 말을 하였고 이를 확고하게 믿고 있었다. 힐베르트는 23가지 문제를 제시하기도 하였는데 그 중 2번째 문제가 ‘수학의 무모순성을 증명하라’였다. 이는 당연히 참 이라고 생각하면서 낸 질문이 였을 것이다. 그런데 1931년 한 청년의 발표에 의해 그 질문이 거짓일지도 모르게 된 것이다. 그것이 바로 괴델의 불완전성 정리이다. 한편 힐베르트는 수학을 논리적으로 연역하는 학문으로 보았기 때문에 수학을 공리론적으로 접근하여 해석하는 학문을 만들었다. 이를 초수학 또는 메타수학이라 한다. 그런데 이 메타수학은 아이러니 하게도 괴델이 불완전성 정리를 완성하는데 중요한 도구가 되었다.

참고 자료

없음