파생상품 가격결정 모형의 유의성 검토(FDM)

소개글

파생상품 모형 중에 하나인 FDM(Finite Difference Method)에 대한 개념부터
수학적 고찰, 실증분석에 이르기까지 정리해 발표한 자료입니다.
금융공학에 관심있는 분에게 괜찮은 자료라고 생각합니다.

목차

Ⅰ. 서 론
□ FDM(Finite Difference Method)이란?

Ⅱ. FDM의 이론적 고찰
□ FDM의 수리적 배경

Ⅲ. FDM 방법론 및 내재가치 산출
□ FDM의 방법론
1) Explicit method
2) Implicit method
3) Crank-Nicolson method
4) θ-method

□ FDM를 이용한 옵션의 적정 내재가치 산출
1) Vanilla european call option
2) Up and out barrier call option

Ⅳ. 맺음말

본문내용

Ⅰ. 서 론

□ 유한차분법(FDM, Finite Difference Method)이란?
o FDM은 옵션가치가 만족시켜야 할 편미분방정식을 수치적으로 풀어서 옵션가치를 계산하는 방법이다.

o 옵션이 미국식(American) 또는 버뮤다(Bermuda) 형태인 경우 최적 행사시점을 고려하여 옵션가치를 평가하는 부분에서 타 방법론에 비하여 우수한 성과를 내는 것으로 알려져 있다.
<참고> 미국식(American) 옵션은 만기이전에 언제든지 옵션을 행사할 수 있으며 버뮤다(Bermuda) 옵션은 만기이전 특정 시점에서 옵션을 행사할 수 있는 형태


Ⅱ. FDM의 이론적 고찰

□ 유한차분법(FDM)의 수리적 배경
1. Black-Scholes-Merton의 편미분 방정식
․주가(S)는 다음과 같은 기하적 브라운운동(Geometric Brownian-
Motion)으로 표현할 수 있다.
( μ:표류항, δ:배당률, σ:변동성 )

․위험중립측도(Risk-Neutral)에서 옵션가치(f)가 만족시켜야할 편미분방정식(PDE)은 다음과 같다.


․위 식은 주가가 변할 때마다 계수항이 변하므로 x=ln(S)로 치환하여 정리하면 다음 식이 도출된다.
<참고> 위 식의 각 변수들은 연속형이므로 이를 시간(t)과 변환된 주가(x)에 대하여 이산형으로 변환시키는 과정이 필요한데 이러한 이유로 “유한차분법”이라고 한다.

․이렇게 log 변환을 하고 나면, Black-Scholes 편미분방정식의 계수가 상수로 변환된다.






․ 이므로 다음의 식이 도출된다.
………………………………… (1)

2. 유한차분근사
․일반적으로 2번 미분가능한 연속함수는 테일러급수(Taylor`s Expansion)에 의해 다음의 관계식을 만족한다.


․위 식을 이용하여 주가의 미분식을 차분형태로 표현할 수 있는데 기준에 따라 전방차분, 중앙차분, 후방차분으로 구분된다

참고 자료

김계홍, “유한차분법의 이해와 활용”, 「Fixed Income Weekly」, 나이스채권평가주식회사, 2005
조희철, “Math-Finance", 서울대학교, 2005
Haug, "The complete guide to Option Pricing Fomulas 2th edition", McGraw-Hill, 2006
Hull, "Option, Futures and other Derivatives 6th edition", Prentice Hall, 2006
Tavella, "Pricing Financial Instruments : The Finite Difference Method", John Wiley & Son Inc., 2004